Расчет страхового запаса по эмпирическому распределению ошибки прогноза спроса

Vit_Al 4 January, 2009 - 20:02
Управление запасами
Методы - теория и практика применения

На практике вычисление страхового запаса и точки заказа обычно проводится на основе нормального распределения без каких-либо проверок распределения на нормальность. Величина ошибки страхового запаса вследствие отклонения распределения вероятностей ошибки прогноза от нормального будет зависеть от степени этого отклонения. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо получить распределение вероятностей ошибки прогноза спроса за время задержки пополнения. Если это распределение уже получено, то можно вычислить размер страхового запаса на его основе, не пользуясь нормальным распределением. В данном пункте мы рассмотрим вычисление страхового запаса на числовом примере.

Пусть в результате обработки файла ошибок прогноза была получена таблица частот, приведенная в таблице 1.8. Количество наблюдений равно 103.

Таблица 1.8 – Эмпирическое распределение ошибки прогноза оптового спроса на растворимый кофе в килограммах

Интер-
валы значе-
ний ошибки прогноза
спроса
-17 –
-12
-12 –
-7
-7 –
-2
-2 –
3
3 –
8
8 –
13
13 –
18
18 –
23
23 –
28
28 –
33
Часто-
ты
11
19
22
23
11
8
5
2
1
1
Отно-
ситель-
ные частоты
0,107
0,184
0,214
0,223
0,107
0,078
0,049
0,019
0,01
0,01

Соответствующая этим данным гистограмма распределения ошибки приведена на рисунке 1.13. По оси абсцисс отложены интервалы значений ошибки прогноза. По оси ординат – число попаданий в каждый интервал.

Среднее квадратическое отклонение ошибки прогноза, рассчитанное по этим данным, составило 9,5. Среднее значение ошибки оказалось равным –0,97, но для упрощения рассуждений мы будем считать его равным нулю.

Как уже было описано в предыдущем пункте, точка заказа может быть представлена как сумма среднего спроса за время пополнения и страхового запаса:

где R – точка заказа,

– прогноз спроса за время пополнения;
SS – страховой запас.

От величины страхового запаса зависит средний (ожидаемый) дефицит в каждом цикле пополнения; чем больше страховой запас, тем меньше дефицит. Величина дефицита является случайной, зависящей от спроса за время пополнения: 

 где SL – величина дефицита;

d – спрос за время пополнения, случайная величина.

Подставим сюда выражение для точки заказа R и получим:

где разность между фактическим спросом d и его прогнозом  – это и есть ошибка прогноза Δd, эмпирическое распределение которой приведено в таблице 1.8. Перепишем это выражения, используя для ошибки прогноза ее обозначение:

Чтобы получить ожидаемое значение дефицита, то есть математическое ожидание, надо воспользоваться формулой для математического ожидания дискретной случайной величины:

 

где  – математическое ожидание дефицита (средний дефицит) при значении точки заказа, равном R;
Δd – ошибка прогноза спроса за время пополнения;
 – величина дефицита при значении ошибки прогноза, равном Δd;
 – вероятность (относительная частота) появления значения Δd.
Наша непрерывная случайная величина – ошибка прогноза – стала дискретной по той причине, что при построении эмпирического распределения мы группируем значения непрерывной случайной величины по интервалам (см. таблицу 1.8) и всем наблюдениям, попавшим в определенный интервал, присваивается значение, равное середине этого интервала.

Подставим в (1.14) выражение для дефицита (1.13) и получим:

 

 

В качестве значений ошибки прогноза Δd следует брать середины интервалов на оси абсцисс гистограммы распределения ошибки прогноза. В таблице 1.8 этими серединами будут –14,5; –9,5; –4,5; 0,5; 5,5; 9,5; 10,5; 15,5; 20,5; 25,5; 30,5. Вычисление дефицита  будем проводить для значений SS, равных левой (нижней) границе каждого интервала гистограммы, то есть для SS = –17, –12, –8 и т. д. Результаты вычислений приведены в таблице 1.9. Обозначения в таблице:
, эмпир. – средний дефицит, вычисленный с использованием эмпирического распределения ;
, норм. – средний дефицит, вычисленный с использованием нормального распределения ошибки прогноза, он равен σE(Z);
 – страховой запас, отнесенный к среднеквадратическому отклонению ошибки прогноза (используется для расчета ожидаемого дефицита при нормальном распределении ошибки прогноза);
Pд, эмпир. – вероятность дефицита, вычисленная с использованием эмпирического распределения ;
Рд, норм. – вероятность дефицита, вычисленная с использованием нормального распределения ;
SL %, эмпир. – уровень обслуживания, вычисленный с использованием эмпирического распределения ;
SL, %, норм. – уровень обслуживания, вычисленный с использованием нормального распределения.
Таблица 1.9 – сравнение вероятностей дефицита и уровней обслуживания, вычисленных с использованием нормального и эмпирического распределений
SS
-17
-12
-7
-2
3
8
13
18
23
28
15,95
11,21
7,21
4,20
2,28
1,19
0,56
0,24
0,10
0,02
Z
-1,79
-1,26
-0,74
-0,21
0,32
0,84
1,37
1,89
2,42
2,95
σE(Z)
17,23
12,36
8,37
4,81
2,54
1,05
0,39
0,10
0,03
0,00
Pд, эмпир.
1,00
0,894
0,710
0,496
0,273
0,166
0,088
0,039
0,020
0,010
Рд, норм.
0,963
0,896
0,770
0,583
0,377
0,200
0,085
0,029
0,007
0,002
SL %, эмпир.
81,2
86,8
91,5
95,0
97,3
98,6
99,3
99,7
99,90
99,98
SL, %, норм.
79,7
85,4
90,1
94,3
97,0
98,8
99,5
99,90
99,96
99,99
Объем заказа Q = 85, среднеквадратическое отклонение ошибки прогноза равно 9,5.
Распределение ошибки прогноза весьма заметно отличается от нормального. Тем не менее сравнение вычисленных вероятностей дефицита для эмпирического распределения и для нормального распределения показывает, что с практической точки зрения эти вероятности мало отличаются. В самом деле, между вероятностями отсутствия дефицита (это 1 – Pд) нет заметной разницы при всех значениях страхового запаса SS, начиная с 13 и выше. Так, для SS = 13 эти вероятности равны 0,912 и 0,915. Это значит, что дефицита не будет наблюдаться в среднем в 912 циклах пополнения из 1000 или в 915. Столь же незначительно отличаются и уровни обслуживания, вычисленные с использованием эмпирического и нормального распределений. Конечно, при меньших размерах заказа различие в уровнях обслуживания может оказаться существенным. Но в нашем примере размер заказа Q равен 85, среднеквадратическая ошибка прогноза равна 9,5, а их отношение равно 8,94. Очевидно, что при больших значениях этого отношения совпадение будет еще лучше.
 

Приведенный пример позволяет сделать вывод о том, что даже при значительных отклонениях распределения ошибки прогнозирования от нормального можно использовать значения страхового запаса, рассчитанные с использованием нормального распределения. Тем не менее, желательно всегда проверять степень расхождения значений ожидаемого уровня обслуживания, вычисленных с использованием эмпирического и нормального распределений, подобно тому, как это сделано в таблице 1.9.