Еще раз о суммарной дисперсии

Итак, еще раз попытаемся разобраться, что же означает формула общей дисперсии не математически, а "по жизни". Нисколько не претендую на оригинальность, но вопрос всплывает часто, надо с ним разобраться и выводы зафиксировать.

Будем рассматривать нашу любимую картинку:

На самом деле, в этой классической пиле мы нарисовали лишь то, как может "уплыть" спрос за время реакции системы поставок (в данном случае, LT+T). Проблема же состоит в том, что у нас имеется еще один источник неопределенности - само время исполнения заказа LT (а значит и общее время реакции) является неопределенным и определяется дисциплиной поставщика. Тогда наша картинка должна выглядеть немного сложнее:

Заштрихованный параллелограмм показывает область, где может оказаться запас в конце цикла с определенной вероятностью. Наша задача - математически описать эту ситуацию. Подход в данном случае очень простой. Для определеннсти будем оперировать дневным расходом товара, тогда суммарный расход за время реакции есть сумма дневных:
Qsum = Q1 + Q2 + ... + QL, но само количество дней L - величина случайная.
То есть мы имеем случайную сумму случайных величин Qi.

  1. Если все Qi независимы и имеют одинаковое распределение с параметрами mq и sq
  2. Если L не зависит от Q и имеет распределение с параметрами mL и sL

то теория вероятностей нам сообщает, что распределение Q будет иметь параметры

Строгий математический вывод формулы нам здесь предоставил inkerman, там добавить нечего.

Однако со своей стороны я хочу обратить внимание на несколько важных вещей, о которых отчего-то в учебниках не сильно говорят, хотя как раз они, в отличие от математики, имеют решающее значение.

  1. Несмотря на то, что параметры распределения определяются математически строго, вид итогового распределения остается неизвестным. Переходя в практическую плоскость, это означает, что на основании этих цифр вообще говоря рассчитать страховой запас нельзя, почти все общеизвестные методы предусматривают нормальное распределение. К счастью, в большинстве случаев суммарное распределение спроса за время реакции достаточно часто оказывается нормальным. В частности, если Q распределены нормально, то и любая сумма будет нормальной. Более того, если даже в распределении Q не наблюдается нормальности, но L достаточно велико, можно считать суммарное распределение приблизительно нормальным.
  2. Прямо из описания задачи следует, что существует жесткая связь между точностью определения L и Q. Поясню. Из нашего рассуждения следует, что L - это не промежуток времени, это всегда натуральное число. В том случае, если оно имеет смысл количества дней, значит как отклонения в сроке поставки мы должны измерять в днях, так и дисперсию спроса мы должны знать для дневных отгрузок. Если вам известна дисперсия только понедельного спроса (которая, естественно, сильно меньше), значит сроки поставок и их дисперсии вы тоже обязаны выражать в неделях и никак иначе. В этом случае учесть отклонение в два-три дня нельзя, лишь в целом числе недель.